달시 바이스바하 마찰계수, 마찰손실

달시 바이스바하, 마찰계수, 마칠손실

달시 바이스바하 (Darcy-Weisbach) 방정식에 대한 이론 정리

달시 바이스바하 (Darcy-Weisbach) 방정식은 유체가 관을 따라 흐를 때, 그 흐름 속에서 발생하는 마찰 손실을 계산하는 데 사용되는 매우 중요한 방정식입니다. 이 방정식은 다양한 관로 시스템의 설계와 분석에 필수적인 도구입니다.

1. 달시 바이스바하 (Darcy-Weisbach) 방정식이란?

관을 통해 유체(예: 물, 기름 등)가 흐를 때, 유체와 관의 표면 사이에서 마찰이 발생합니다. 이 마찰로 인해 압력 손실이나 에너지 손실이 생깁니다. 달시 바이스바하 (Darcy-Weisbach) 방정식은 이 손실을 계산하는 공식입니다.

이 방정식은 다음과 같은 형태로 주어집니다:

$H_L = f \times \frac{L}{D} \times \frac{V^2}{2g}$

여기서,

$H_L$ : 마찰 손실 수두 또는 압력 손실 (단위: m)
$f$ : 마찰 계수, 관의 표면 거칠기와 유체 흐름의 성격에 따라 달라지는 무차원 값
$L$ : 관의 길이 (단위: m)
$D$ : 관의 직경 (단위: m)
$V$ : 유속 (단위: m/s)
$g$ : 중력 가속도 (9.81 m/s²)

2. Darcy-Weisbach 방정식의 의미

이 방정식은 관의 길이, 직경, 유속, 그리고 마찰 계수가 마찰 손실 수두에 어떻게 영향을 미치는지 설명합니다.

마찰 계수(f): 유체가 흐를 때 관의 표면 거칠기와 유체 흐름의 성질에 따라 달라집니다. Reynolds 수를 계산한 후, 층류 또는 난류 상태에 따라 f 값을 결정합니다. 관이 매끄럽거나 유속이 느리면 마찰 계수가 작아지며, 거칠거나 유속이 빠르면 커집니다.
유속(V): 유체가 빠르게 흐를수록 마찰 손실이 커집니다. 방정식에서 $V^2$ 에 비례하므로 유속이 두 배로 증가하면 마찰 손실은 네 배로 커집니다.
관의 직경(D): 관의 직경이 클수록 마찰 손실이 줄어듭니다. 관이 넓으면 유체가 흘러가는 면적이 더 커지므로, 관이 좁을 때보다 마찰이 덜 발생합니다.
관의 길이(L): 관의 길이가 길수록 마찰 손실도 커집니다. 길이가 두 배로 길어지면 마찰 손실도 두 배로 증가합니다.

3. 마찰 계수(f) 구하는 법

마찰 계수 $f$ 는 Reynolds 수와 관의 거칠기에 따라 달라집니다. Reynolds 수는 유체가 층류 또는 난류로 흐르는지 판단하는 무차원 수입니다. Reynolds 수가 낮으면 층류, 높으면 난류입니다.

층류(Re < 2000): 마찰 계수 $f$ 는 다음 공식으로 구할 수 있습니다:
$f = \frac{64}{Re}$
난류(Re > 4000): 난류에서는 $f$ 를 구하는 식이 복잡해지며, Colebrook-White 방정식 등을 사용해야 할 수 있습니다.

4. Darcy-Weisbach 방정식이 쓰이는 곳

Darcy-Weisbach 방정식은 다양한 실제 상황에서 사용됩니다. 예를 들어:

수도관 설계 시 물의 압력 손실을 계산하여 적절한 펌프 크기를 선택할 때
산업용 파이프 시스템에서 유체 흐름을 최적화하고 에너지 손실을 줄이기 위해
에어컨 배관 설계 시 공기 흐름의 저항을 계산할 때

5. Darcy-Weisbach 방정식과 관련된 요소들

Reynolds 수: 유체 흐름이 층류인지 난류인지를 결정하는 중요한 수치로, 유체의 속도, 밀도, 점성, 관의 직경 등을 기반으로 계산됩니다.
마찰 손실: 유체가 관을 따라 흐르면서 발생하는 에너지 손실을 의미합니다.
관의 거칠기: 관의 표면이 매끄러운지, 거친지에 따라 마찰 계수가 달라집니다.

달시 바이스바하 예시 문제

길이가 100 m, 직경이 0.1 m인 관을 통해 유속 2 m/s로 물이 흐르고 있습니다. 마찰 계수 f = 0.03일 때, 마찰 손실 수두를 계산하세요.

해결 과정:

주어진 값을 식에 대입합니다:
$H_L = 0.03 \times \frac{100}{0.1} \times \frac{2^2}{2 \times 9.81}$
계산하면:
$H_L = 0.03 \times 1000 \times \frac{4}{19.62} = 0.03 \times 1000 \times 0.204 = 6.12 \, \text{m}$

따라서 마찰 손실 수두 $H_L$ 는 6.12 m입니다.

결론

Darcy-Weisbach 방정식은 유체가 관을 따라 흐를 때 발생하는 마찰 손실을 계산하는 데 매우 유용한 도구입니다. 이를 통해 관의 크기, 유체 흐름 속도, 그리고 마찰 손실을 최적화하여 효율적인 시스템 설계가 가능합니다.

달시 바이스바하 연습문제

문제 1:

길이가 100 m이고 직경이 0.2 m인 관을 통해 물이 흐르고 있습니다. 유량은 0.05 m³/s이며, 마찰 계수 f = 0.02입니다. 중력 가속도 g = 9.81 m/s²로 가정할 때, 이 관을 통해 흐르는 물의 마찰 손실 수두(H_L)는 얼마인가?

해설

풀이:

주어진 값:

관의 길이, L = 100 m
관의 직경, D = 0.2 m
유량, Q = 0.05 m³/s
마찰 계수, f = 0.02
중력 가속도, g = 9.81 m/s²

먼저 유속 V를 구합니다. 유속은 다음 식으로 계산됩니다:

$V = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\frac{\pi D^2}{4}} = \frac{0.05}{\frac{\pi (0.2)^2}{4}} = \frac{0.05}{0.0314} = 1.59 \, \text{m/s}$

Darcy-Weisbach 방정식을 사용하여 마찰 손실 수두 H_L을 구합니다:

$H_L = f \times \frac{L}{D} \times \frac{V^2}{2g}$

$H_L = 0.02 \times \frac{100}{0.2} \times \frac{1.59^2}{2 \times 9.81}$

$H_L = 0.02 \times 500 \times \frac{2.53}{19.62} = 0.02 \times 500 \times 0.129 = 12.88 \, \text{m}$

따라서 마찰 손실 수두는 12.88 m입니다.

문제 2:

길이가 150 m, 직경이 0.1 m인 관을 통해 물이 유속 3 m/s로 흐르고 있습니다. 이때, Darcy-Weisbach 방정식을 이용하여 마찰 손실 수두를 구하세요. 마찰 계수 f = 0.03이며, 중력 가속도 g = 9.81 m/s²로 가정합니다.

해설

풀이:

주어진 값:

관의 길이, L = 150 m
관의 직경, D = 0.1 m
유속, V = 3 m/s
마찰 계수, f = 0.03
중력 가속도, g = 9.81 m/s²

Darcy-Weisbach 방정식을 사용하여 마찰 손실 수두 H_L을 구합니다:

$H_L = f \times \frac{L}{D} \times \frac{V^2}{2g}$

$H_L = 0.03 \times \frac{150}{0.1} \times \frac{3^2}{2 \times 9.81}$

$H_L = 0.03 \times 1500 \times \frac{9}{19.62} = 0.03 \times 1500 \times 0.459 = 20.66 \, \text{m}$

따라서 마찰 손실 수두는 20.66 m입니다.

문제 3:

직경이 0.15 m, 길이가 200 m인 관을 통해 유량이 0.06 m³/s인 물이 흐르고 있습니다. Darcy-Weisbach 방정식을 이용해 마찰 손실 수두를 계산하고, 마찰 계수가 0.025일 때 마찰 손실 수두는 얼마인가? 중력 가속도 g = 9.81 m/s²를 사용하세요.

해설

풀이:

주어진 값:

관의 길이, L = 200 m
관의 직경, D = 0.15 m
유량, Q = 0.06 m³/s
마찰 계수, f = 0.025
중력 가속도, g = 9.81 m/s²

먼저 유속 V를 구합니다. 유속은 다음 식으로 계산됩니다:

$V = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\frac{\pi D^2}{4}} = \frac{0.06}{\frac{\pi (0.15)^2}{4}} = \frac{0.06}{0.0177} = 3.39 \, \text{m/s}$

Darcy-Weisbach 방정식을 사용하여 마찰 손실 수두 H_L을 구합니다:

$H_L = f \times \frac{L}{D} \times \frac{V^2}{2g}$

$H_L = 0.025 \times \frac{200}{0.15} \times \frac{3.39^2}{2 \times 9.81}$

$H_L = 0.025 \times 1333.33 \times \frac{11.49}{19.62} = 0.025 \times 1333.33 \times 0.586 = 19.52 \, \text{m}$

따라서 마찰 손실 수두는 19.52 m입니다.

문제 4:

관의 길이가 50 m, 직경이 0.05 m인 관을 통해 유속 4 m/s로 물이 흐르고 있습니다. 마찰 계수 f = 0.04일 때 Darcy-Weisbach 방정식을 이용해 마찰 손실 수두를 구하시오. 중력 가속도는 g = 9.81 m/s²로 가정합니다.

해설

풀이:

주어진 값:

관의 길이, L = 50 m
관의 직경, D = 0.05 m
유속, V = 4 m/s
마찰 계수, f = 0.04
중력 가속도, g = 9.81 m/s²

Darcy-Weisbach 방정식을 사용하여 마찰 손실 수두 H_L을 구합니다:

$H_L = f \times \frac{L}{D} \times \frac{V^2}{2g}$

$H_L = 0.04 \times \frac{50}{0.05} \times \frac{4^2}{2 \times 9.81}$

$H_L = 0.04 \times 1000 \times \frac{16}{19.62} = 0.04 \times 1000 \times 0.815 = 32.6 \, \text{m}$

따라서 마찰 손실 수두는 32.6 m입니다.

문제 5:

길이가 80 m이고, 직경이 0.3 m인 관을 통해 유량이 0.2 m³/s인 물이 흐르고 있습니다. 마찰 계수 f = 0.02이며, 중력 가속도 g = 9.81 m/s²로 가정할 때 Darcy-Weisbach 방정식을 이용해 마찰 손실 수두를 구하시오.

해설

풀이:

주어진 값:

관의 길이, L = 80 m
관의 직경, D = 0.3 m
유량, Q = 0.2 m³/s
마찰 계수, f = 0.02
중력 가속도, g = 9.81 m/s²

먼저 유속 V를 구합니다. 유속은 다음 식으로 계산됩니다:

$V = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\frac{\pi D^2}{4}} = \frac{0.2}{\frac{\pi (0.3)^2}{4}} = \frac{0.2}{0.0707} = 2.83 \, \text{m/s}$

Darcy-Weisbach 방정식을 사용하여 마찰 손실 수두 H_L을 구합니다:

$H_L = f \times \frac{L}{D} \times \frac{V^2}{2g}$

$H_L = 0.02 \times \frac{80}{0.3} \times \frac{2.83^2}{2 \times 9.81}$

$H_L = 0.02 \times 266.67 \times \frac{8.01}{19.62} = 0.02 \times 266.67 \times 0.408 = 2.18 \, \text{m}$

따라서 마찰 손실 수두는 2.18 m입니다.

추가 연습문제 입니다.

문제 1

내경이 40cm, 길이가 500m인 배관에 유체가 유속 0.6m/s로 흐르고 있다. 마찰손실계수가 f = 0.04일 때, 배관에서 발생하는 마찰손실 수두와 상당구배를 계산하시오. (중력가속도 g = 9.8 m/s²)

해설

달시 바이쓰바흐 실험식:
$\Delta H = f \frac{l}{d} \frac{v^2}{2g}$
마찰손실 수두 계산:
$\Delta H = 0.04 \times \frac{500}{0.4} \times \frac{0.6^2}{2 \times 9.8} = 0.306[m]$
상당구배 계산:
$L_1 = \frac{\Delta H}{l} = \frac{0.306}{500} = 0.000612$

문제 2

내경이 25cm, 길이가 800m인 배관에 유체가 유속 0.9m/s로 흐르고 있다. 마찰손실계수가 f = 0.05일 때, 배관에서 발생하는 마찰손실 수두와 상당구배를 계산하시오. (중력가속도 g = 9.8 m/s²)

해설

달시 바이쓰바흐 실험식:
$\Delta H = f \frac{l}{d} \frac{v^2}{2g}$
마찰손실 수두 계산:
$\Delta H = 0.05 \times \frac{800}{0.25} \times \frac{0.9^2}{2 \times 9.8} = 2.204[m]$
상당구배 계산:
$L_1 = \frac{\Delta H}{l} = \frac{2.204}{800} = 0.002755$

문제 3

내경이 30cm, 길이가 600m인 배관에 유체가 유속 0.5m/s로 흐르고 있다. 마찰손실계수가 f = 0.03일 때, 배관에서 발생하는 마찰손실 수두와 상당구배를 계산하시오. (중력가속도 g = 9.8 m/s²)

해설

달시 바이쓰바흐 실험식:
$\Delta H = f \frac{l}{d} \frac{v^2}{2g}$
마찰손실 수두 계산:
$\Delta H = 0.03 \times \frac{600}{0.3} \times \frac{0.5^2}{2 \times 9.8} = 0.459[m]$
상당구배 계산:
$L_1 = \frac{\Delta H}{l} = \frac{0.459}{600} = 0.000765$

문제 4

내경이 35cm, 길이가 1,200m인 배관에 유체가 유속 1.0m/s로 흐르고 있다. 마찰손실계수가 f = 0.02일 때, 배관에서 발생하는 마찰손실 수두와 상당구배를 계산하시오. (중력가속도 g = 9.8 m/s²)

해설

달시 바이쓰바흐 실험식:
$\Delta H = f \frac{l}{d} \frac{v^2}{2g}$
마찰손실 수두 계산:
$\Delta H = 0.02 \times \frac{1200}{0.35} \times \frac{1.0^2}{2 \times 9.8} = 1.745[m]$
상당구배 계산:
$L_1 = \frac{\Delta H}{l} = \frac{1.745}{1200} = 0.001454$

문제 5

내경이 45cm, 길이가 700m인 배관에 유체가 유속 1.2m/s로 흐르고 있다. 마찰손실계수가 f = 0.06일 때, 배관에서 발생하는 마찰손실 수두와 상당구배를 계산하시오. (중력가속도 g = 9.8 m/s²)

해설

달시 바이쓰바흐 실험식:
$\Delta H = f \frac{l}{d} \frac{v^2}{2g}$
마찰손실 수두 계산:
$\Delta H = 0.06 \times \frac{700}{0.45} \times \frac{1.2^2}{2 \times 9.8} = 2.546[m]$
상당구배 계산:
$L_1 = \frac{\Delta H}{l} = \frac{2.546}{700} = 0.003637$

문제 6

내경이 60cm, 길이가 900m인 배관에 유체가 유속 1.1m/s로 흐르고 있다. 마찰손실계수가 f = 0.045일 때, 배관에서 발생하는 마찰손실 수두와 상당구배를 계산하시오. (중력가속도 g = 9.8 m/s²)

해설

달시 바이쓰바흐 실험식:
$\Delta H = f \frac{l}{d} \frac{v^2}{2g}$
마찰손실 수두 계산:
$\Delta H = 0.045 \times \frac{900}{0.6} \times \frac{1.1^2}{2 \times 9.8} = 1.939[m]$
상당구배 계산:
$L_1 = \frac{\Delta H}{l} = \frac{1.939}{900} = 0.002155$

달시 바이스바하 (Darcy-Weisbach) 방정식에 대한 이론 정리

1. 달시 바이스바하 (Darcy-Weisbach) 방정식이란?

2. Darcy-Weisbach 방정식의 의미

3. 마찰 계수(f) 구하는 법

4. Darcy-Weisbach 방정식이 쓰이는 곳

5. Darcy-Weisbach 방정식과 관련된 요소들

달시 바이스바하 예시 문제

결론

달시 바이스바하 연습문제

문제 1:

풀이:

문제 2:

풀이:

문제 3:

풀이:

문제 4:

풀이:

문제 5:

풀이:

문제 1

문제 2

문제 3

문제 4

문제 5

문제 6

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