수력반경, 수력직경0

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수력반경, 수력직경

수력직경(Hydraulic Diameter)과 수력반경(Hydraulic Radius)

수력직경과 수력반경은 유체가 흐르는 비원형 단면(예: 사각형, 타원형, 개방형 수로 등)을 가진 관 또는 통로에서 유동을 분석할 때 중요한 개념입니다. 이는 원형이 아닌 단면을 가진 통로에서 유동 특성을 더 정확하게 분석하기 위해 사용됩니다.

1. 수력직경 (Hydraulic Diameter)

수력직경은 원형이 아닌 단면을 가진 유로에서, 원형 관에 비해 유동 특성을 설명하기 위해 도입된 개념입니다. 수력직경은 다음과 같이 정의됩니다:

    \[ D_h = \frac{4A}{P} \]

여기서,

  • D_h: 수력직경 [m]
  • A: 유로의 단면적 [m²]
  • P: 유로의 젖은 둘레, 즉 유체와 접촉하는 면적의 둘레 [m]

수력직경의 의미:

– 수력직경은 원형 관에서 실제 지름처럼 작용합니다.

– 예를 들어, 원형 단면을 가진 관에서는 수력직경이 실제 직경과 동일하지만, 사각형이나 비원형 단면의 경우 수력직경은 그 유동 특성을 반영한 등가 직경으로 볼 수 있습니다.

수력직경 예시:

사각형 단면의 유로에서 너비 b와 높이 h가 주어진 경우 수력직경은 다음과 같이 계산됩니다:

    \[ D_h = \frac{4(b \times h)}{2(b + h)} \]

2. 수력반경 (Hydraulic Radius)

수력반경은 단면적과 젖은 둘레 사이의 비율로 정의되며, 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있습니다:

    \[ R_h = \frac{A}{P} \]

여기서,

  • R_h: 수력반경 [m]
  • A: 유로의 단면적 [m²]
  • P: 젖은 둘레 [m]

수력반경의 의미:

– 수력반경은 유로의 단면적에 대해 유체와 접촉하는 면적의 길이를 나타냅니다.

– 원형 단면을 가진 관에서는 수력반경이 직경의 1/4에 해당하며, 비원형 단면에서는 유동 특성을 설명하는 중요한 파라미터로 사용됩니다.

수력반경 예시:

직사각형 단면에서 너비 b와 깊이 h를 가지는 경우 수력반경은 다음과 같이 계산됩니다:

    \[ R_h = \frac{b \times h}{2(b + h)} \]

3. 수력직경과 수력반경의 차이

– 수력직경은 4A/P로 정의되며, 원형 단면에 대응하는 등가 직경처럼 사용됩니다. 수력직경은 특히 마찰 손실을 계산할 때 중요합니다.

– 수력반경은 A/P로 정의되며, 비원형 단면에서 유동 특성을 설명하기 위한 값으로 사용됩니다. 주로 개방형 수로나 비원형 단면에서 사용됩니다.

 

수력반경 및 수력직경 예제 문제

문제 1: 사각형 단면의 배관

너비 0.4 m, 높이 0.2 m인 사각형 단면의 배관에서 수력직경과 수력반경을 구하시오.

해설

주어진 사각형 단면의 너비 b = 0.4 \, \text{m}와 높이 h = 0.2 \, \text{m}입니다.

  • 단면적: A = b \times h = 0.4 \times 0.2 = 0.08 \, \text{m}^2
  • 젖은 둘레: P = 2(b + h) = 2(0.4 + 0.2) = 1.2 \, \text{m}

수력직경과 수력반경을 계산하면:

    \[ D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4 \times 0.08}{1.2} = 0.267 \, \text{m} \]

    \[ R_h = \frac{A}{P} = \frac{0.08}{1.2} = 0.067 \, \text{m} \]

문제 2: 이중 원형관

내경이 100 mm, 외경이 120 mm인 이중 원형관에서 유체가 흐르고 있다. 이 배관의 수력직경을 구하시오.

해설

이중 원형관에서 내경 D_i = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}, 외경 D_o = 120 \, \text{mm} = 0.12 \, \text{m}입니다.

  • 단면적: A = \frac{\pi}{4}(D_o^2 - D_i^2) = \frac{\pi}{4}(0.12^2 - 0.1^2) = 0.00628 \, \text{m}^2
  • 젖은 둘레: P = \pi(D_o + D_i) = \pi(0.12 + 0.1) = 0.69115 \, \text{m}

수력직경을 계산하면:

    \[ D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4 \times 0.00628}{0.69115} = 0.0364 \, \text{m} = 36.4 \, \text{mm} \]

문제 3: 반원형 단면의 배관

반원형 단면을 가진 배관에서 반지름이 0.3 m일 때, 이 배관의 수력직경과 수력반경을 구하시오.

해설

반원형 단면에서 반지름 r = 0.3 \, \text{m}입니다.

  • 단면적: A = \frac{\pi r^2}{2} = \frac{\pi \times 0.3^2}{2} = 0.14137 \, \text{m}^2
  • 젖은 둘레: P = \pi r = \pi \times 0.3 = 0.942 \, \text{m}

수력직경과 수력반경을 계산하면:

    \[ D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4 \times 0.14137}{0.942} = 0.6 \, \text{m} \]

    \[ R_h = \frac{A}{P} = \frac{0.14137}{0.942} = 0.15 \, \text{m} \]

문제 4: 타원형 단면의 배관

긴 반지름이 0.5 m, 짧은 반지름이 0.3 m인 타원형 단면 배관에서 수력직경과 수력반경을 구하시오.

해설

타원형 단면의 긴 반지름 a = 0.5 \, \text{m}, 짧은 반지름 b = 0.3 \, \text{m}입니다.

  • 단면적: A = \pi a b = \pi \times 0.5 \times 0.3 = 0.47124 \, \text{m}^2
  • 젖은 둘레: P \approx \pi\left[1.5(a + b) - \sqrt{ab}\right] \approx \pi\left[1.5(0.5 + 0.3) - \sqrt{0.5 \times 0.3}\right] = 2.64 \, \text{m}

수력직경과 수력반경을 계산하면:

    \[ D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4 \times 0.47124}{2.64} = 0.714 \, \text{m} \]

    \[ R_h = \frac{A}{P} = \frac{0.47124}{2.64} = 0.1785 \, \text{m} \]

문제 5: 개방형 수로

깊이가 2 m, 너비가 4 m인 개방형 수로에서 수력직경을 구하시오.

해설

개방형 수로의 깊이 h = 2 \, \text{m}, 너비 b = 4 \, \text{m}입니다.

  • 단면적: A = b \times h = 4 \times 2 = 8 \, \text{m}^2
  • 젖은 둘레: P = b + 2h = 4 + 2 \times 2 = 8 \, \text{m}

수력직경을 계산하면:

    \[ D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4 \times 8}{8} = 4 \, \text{m} \]

수력반경과 수력직경의 활용

수력반경과 수력직경은 특히 비원형 단면에서 유체 흐름을 분석할 때 중요한 물리량입니다. 기본적으로 단면의 기하학적 특성을 반영하기 위한 개념으로, 특정 흐름 상황에서 그 값을 구한 뒤, 직접적으로 다시 활용하는 방식은 일반적인 유속 계산이나 유량 계산처럼 직관적이지 않습니다. 대신, 수력반경이나 수력직경은 다음과 같은 여러 분야에서 간접적으로 매우 중요한 역할을 합니다:

1. 유속 계산

수력반경 또는 수력직경은 비원형 단면(예: 사각형, 이중원형관 등)에서 다시 유속을 계산하기 위한 수식에서 자주 사용됩니다. 특히, 마찰 손실이나 흐름 저항을 계산할 때 수력직경이 필수적입니다.

예를 들어, Darcy-Weisbach 방정식에서:

    
    
      \[     h_f = f \times \frac{L}{D_h} \times \frac{v^2}{2g}     \]

여기서 D_h는 수력직경이며, 이는 비원형 관에서 직접적인 유속을 계산할 때 사용됩니다.

2. 마찰 손실 계산

수력반경과 수력직경은 마찰 손실 계산에서 매우 중요한 요소로 작용합니다. 비원형 단면의 경우, 마찰 손실을 계산할 때는 단순히 원형 관 직경을 대입할 수 없으므로, 이를 대신해 수력반경 또는 수력직경을 사용하여 계산합니다.

예를 들어, 수력반경 R_h를 사용하는 맨닝 방정식에서는 다음과 같이 표현됩니다:

    
    
      \[     v = \frac{1}{n} R_h^{2/3} S^{1/2}     \]

여기서 R_h는 수력반경이고, 이는 유속 계산에 직접적으로 사용됩니다.

3. 관의 유동 저항 계산

관에서 유체가 흐를 때의 저항은 단순히 관의 직경이 아니라 관의 형상에 따라 달라집니다. 원형 단면이 아닌 경우, 실제 유동 저항을 계산할 때는 수력반경이 훨씬 더 유용합니다.

예를 들어, Moody 다이어그램을 통해 마찰 계수 f를 구할 때, 관의 형상이 원형이 아닐 경우 수력직경을 사용하여 유동 저항을 계산합니다.

4. 침강 속도 및 흐름 저항에 대한 분석

수력반경은 특히 개수로(open channel) 흐름에서 유속, 침강 속도 등을 분석하는 데도 자주 사용됩니다. 개수로 흐름은 대개 비원형 단면을 가지기 때문에 수력반경을 활용한 계산이 필수적입니다.

예시 문제

문제:

직사각형 단면을 가진 관의 가로 길이가 0.8m, 세로 길이가 0.5m이고, 유량이 0.4 m³/s입니다. 이 관의 수력반경을 구하고, Darcy-Weisbach 방정식을 사용하여 마찰 손실 수두를 구하시오. 관의 길이는 200m이며, 마찰계수 f는 0.02입니다.

풀이:

1. 수력반경 R_h 계산

    
    
      \[     A = b \times h = 0.8 \times 0.5 = 0.4 \, \text{m}^2     \]

    
      \[     P = 2 \times (b + h) = 2 \times (0.8 + 0.5) = 2.6 \, \text{m}     \]

    
      \[     R_h = \frac{A}{P} = \frac{0.4}{2.6} = 0.1538 \, \text{m}     \]

2. 유속 계산

    
    
      \[     v = \frac{Q}{A} = \frac{0.4}{0.4} = 1 \, \text{m/s}     \]

3. Darcy-Weisbach 방정식을 이용한 마찰 손실 수두

    
    
      \[     h_f = f \times \frac{L}{D_h} \times \frac{v^2}{2g} = 0.02 \times \frac{200}{0.1538} \times \frac{1^2}{2 \times 9.8} = 1.317 \, \text{m}     \]

정답: 마찰 손실 수두는 1.317m입니다.

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